Indexação - LotoClover

Indexação:

Uma forma alternativa de interpretar um jogo de loteria, é imaginar o conjunto das combinações possíveis estático e bem definido, em vez de imaginar cada número individualmente. As bolas girando no globo seriam apenas uma forma aleatória de escolher uma dessas combinações fixas. Dessa forma, o relacionamento entre os números já está definido, ou seja, no caso da LotoFácil, são 3.268.760 grupos de 15 números firmemente agregados entre si.

Se as combinações tiverem um critério fixo e definido para serem listadas, por exemplo, ordem crescente, cada combinação será mapeada num único lugar, como se fosse um endereço. Se quiser saber quais números compõem uma combinação, basta procurar pelo endereço. Esse endereço é comumente chamado de índice ou CSN (Combinatorial Sequence Number).

A estratégia de indexação baseia-se na escolha de índices de forma tal que possa-se prever uma ocorrência de acerto localizado naquele endereço, qualquer que seja a combinação que ali esteja mapeada.

Essa estratégia é antiga e mais conhecida como aposta com garantia. Também definida pelos diversos códigos que representam cada escolha, tais como:

17-15-14-15 ou
18-15-13-15 ou
22-15-14-15 e muitos outros.

O termo garantia gera confusão e a falsa expectativa de que seja fácil ganhar com essa estratégia. O que ela permite e oferece é a capacidade de determinar com precisão (garantia) os índices onde ocorrerão os acertos de 14, 13, 12 ou 11 pontos. Porém, deve-se salientar que a pré-condição para acerto é inalterada em relação a um jogo sem qualquer estratégia e continua muito difícil. Ou cara quando a quantidade de números é grande.

Uma combinação de 15 números que coincida com um resultado sorteado pode estar mapeada em qualquer índice, do primeiro ao último. Então seria necessário jogar todas as combinações possíveis para garantir o acerto máximo, pois num sorteio é escolhido uma única combinação de 15 números (para essa análise, um índice). Entretanto, para cada acerto de 15 números há múltiplos acertos de premiações menores (14, 13, 12 e 11) espalhados pelo universo de combinações possíveis e com seus índices (endereços) bem definidos. O que se faz, portanto, é mapear esses índices. As figuras A e B, a seguir, tentam representar essa distribuição graficamente para facilitar a compreensão.

As cores na figura A representam cada índice que eventualmente tenha acertado 15 pontos e seus respectivos endereços correspondentes de acerto de 14 pontos. Apesar da figura A representar os índices de 14 em regiões contíguas, esse cenário não é o único, pois as regiões podem ser consecutivas ou não. A forma mais adequada para representar como é realmente a distribuição dos índices para uma determinada posição seria como na figura B.

O nome estratégia é extremamente adequado, pois trata-se de distribuir e posicionar combinações em índices previamente escolhidos, como o faria um general com seus soldados numa guerra. Assim, para cada cor da figura A (roxo, verde e azul) deve-se definir uma combinação, ou índice, para cobrir aquela região.

Então, para a figura A pode-se definir, por exemplo, o índice 5 para cobrir a região de 5 até 11, caso o 15 pontos ocorra no índice 1. Definir o índice 51 para cobrir a região de 51 até 57, caso o 15 pontos ocorra no índice 28. Definir o índice 126 para cobrir a região de 126 até 130, caso o 15 pontos ocorra no índice 71. E assim sucessivamente até que todos os 136 índices estejam cobertos.

Já no caso da figura B, caso o 15 pontos ocorra no índice 1, definindo-se o índice 6, por exemplo, as regiões de 6 até 8, de 18 até 19, de 80 até 81 e de 131 até 133 estariam cobertas.

Quando se fala em percentual de cobertura, trata-se exatamente de selecionar índices em quantidade suficiente para cobrir toda a região (o universo de combinações possíveis). Uma cobertura 100% é aquela que não deixa nenhum endereço sem cobertura, mesmo que para isso seja necessário uma relação um para um, ou seja, uma combinação para cobrir apenas um índice.

Para a LotoFácil, a quantidade de acertos múltiplos para quaisquer valores é dada pela equação:

Onde:

m é a quantidade de números no universo (Alguns livros usam a letra V para se referir a essa grandeza);
p é a quantidade de números por combinação (Alguns livros usam a letra K para se referir a essa grandeza);
t é o acerto mínimo que se deseja obter;
c é a condição necessária para o sucesso (Alguns livros usam a letra M para se referir a essa grandeza).

A tabela abaixo mostra alguns valores de acertos múltiplos que devem ser considerados para desenvolver essa estratégia, considerando que haja acerto de 15 pontos dentro da quantidade de números jogados.

Quantidade de	Quantidade de	Quantidade de combinações por índice para:
números jogados	combinações	14	13	12	11
16	16	15
17	136	30	105
18	816	45	315	455
19	3.876	60	630	1.820	1.365
20	15.504	75	1.050	4.550	6.825
21	54.264	90	1.575	9.100	20.475
22	170.544	105	2.205	15.925	47.775
23	490.314	120	2.940	25.480	95.550
24	1.307.504	135	3.780	38.220	171.990
25	3.268.760	150	4.725	54.600	286.650

Os valores na tabela mostram que, para 17 números, por exemplo, para cada índice que acertar 15 pontos, existirão outros 30 que acertarão 14 pontos. É possível mapear todos os índices de 14 pontos para cada um dos possíveis 136 índices de 15 pontos. Essa é a essência da estratégia. Esse mesmo princípio pode ser aplicado para as premiações menores 13, 12 e 11. Sempre levando em consideração que o pré-requisito para o sucesso da estratégia é acertar uma pontuação maior dentro dos números jogados para se ter êxito em premiações menores.

Analisando-se a tabela é possível perceber que quanto maior é a quantidade de números jogados, a proporção entre a quantidade de combinações possíveis e a quantidade de combinações por índice vai ficando cada vez maior, diminuindo a eficiência da estratégia. Por exemplo, para 16 números jogados e índice de 14, a relação é 16 para 15, ou 1,07. Já para 25 números (índice 14), a relação é 3.268.760 para 150, ou 21.791,73. Um aumento exponencial de várias ordens.

A proporção entre a quantidade de combinações possíveis e a quantidade de combinações por índice permite definir qual seria o valor mínimo de combinações para determinado cenário. O valor mínimo de combinações para quaisquer valores é dado pela equação:

Onde:

m é a quantidade de números no universo (Alguns livros usam a letra V para se referir a essa grandeza);
p é a quantidade de números por combinação (Alguns livros usam a letra K para se referir a essa grandeza);
t é o acerto mínimo que se deseja obter;
c é a condição necessária para o sucesso (Alguns livros usam a letra M para se referir a essa grandeza).

A tabela abaixo mostra alguns valores.

Quantidade de	Quantidade de	Quantidades mínimas de combinações para:
números jogados	combinações	14	13	12	11
16	16	1,07
17	136	4,53	1,30
18	816	18,13	2,59	1,79
19	3.876	64,60	6,15	2,13	2,84
20	15.504	206,72	14,77	3,41	2,27
21	54.264	602,93	34,45	5,96	2,65
22	170.544	1.624,23	77,34	10,71	3,57
23	490.314	4.085,95	166,77	19,24	5,13
24	1.307.504	9.685,21	345,90	34,21	7,60
25	3.268.760	21.791,73	691,80	59,87	11,40

Teoricamente, seriam necessárias apenas 5 combinações (arredondando o valor 4,53 para cima) para cobrir todo o universo de combinações para a quantidade de 17 números, por exemplo. Entretanto, os valores mínimos dificilmente seriam atingidos pelo fato de existir sobreposição de cobertura para cada índice definido. A sobreposição (interseção entre as áreas de acerto múltiplo de dois ou mais índices quaisquer) diminui bastante a eficiência da estratégia, exigindo que mais índices, consequentemente combinações, sejam necessários para cobrir a região.

Assim sendo, é necessário o desenvolvimento de algoritmos para encontrar qual é o valor mínimo prático para uma cobertura em determinado percentual (Daí as famosas perguntas: Alguém tem uma matriz menor para...? ).

Não há um valor definido de quanto é o aumento no número de índices causado pela sobreposição, pois depende da eficácia de cada algoritmo. No Caso do LotoClover, esse aumento ficou, em média, da ordem de 2,5 vezes o valor mínimo. A figura abaixo tenta representar graficamente o que seria a sobreposição.

Como mostra a figura acima, se for definido o índice 4 para cobrir a região roxa (4 até 10) e o índice 9 para cobrir a região verde (9 até 15), juntos, esses dois índices cobrem uma região com 12 índices. Entretanto, se não houvesse sobreposição, esses mesmos dois índices iriam cobrir uma região maior com 14 índices.