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Quantidade de números sorteados

Se fizermos uma brincadeira, verificando como seriam as chances se, em vez de sortear 15 números, a LotoFácil sorteasse outros quaisquer, por exemplo, 12, 13, 16 ou 17 dentre os 25 números possíveis, descobre-se uma curiosidade. Se fossem sorteados 12 ou 13 números, em vez de 15, a chance de acerto do prêmio máximo seria menor, ou seja, mais difícil. Assim como acertar 17, em 17 sorteados, é mais fácil do que acertar 15 em 15, como é hoje. Observe os valores no gráfico abaixo.
brincando com a probabilidade

Análise combinatória

As loterias de números, são definidas pela análise combinatória. Visto que a ordem dos números não importa, ou seja, acertar 5, 6 e 7 é a mesma coisa que acertar 7, 6 e 5, as possibilidades são calculadas como combinações simples e não como arranjos, que levam em consideração a ordem.
As combinações simples, sem repetição, são calculadas pela fórmula abaixo:
fórmula combinação 
Onde:
  • C - é a quantidade de combinações possíveis (3.268.760 para a LotoFácil)
  • m  - é o universo dos números possíveis (25 para a LotoFácil)
  • p  - é o tamanho do agrupamento (15 para a LotoFácil)
  • !  - é o fatorial do número
Para se calcular a probabilidade, chance de acerto, num jogo de loteria de números, é necessário perceber que cada bola sorteada, removida do globo, altera os parâmetros para análise de probabilidade da bola sorteada em seguida, pois não há reposição. Então, trata-se de um modelo hipergeométrico e não binomial. Logo, deve-se levar em consideração 5 grandezas: o tamanho do universo, a quantidade de números apostados, a quantidade de números acertados, a quantidade de números errados (não acertados) e a quantidade de números sorteados.
Na LotoFácil, para o prêmio máximo e uma aposta simples de 15 números, por exemplo, essas 5 grandezas seriam:
  1. Universo = 25
  2. Aposta = 15
  3. Acerto = 15
  4. Erro = 10
  5. Sorteado = 15
O valor da probabilidade para quaisquer valores é definido pela fórmula:

fórmula probabilidade

Aplicando-se essa fórmula para a LotoFácil, obtém-se o gráfico de probabilidades. Sempre que a quantidade de números apostados for proporcionalmente grande em relação à quantidade de números possíveis (3/5 no caso da LotoFácil), o gráfico terá característica não linear e com ponto de inflexão (valor para o qual a curva que está crescendo troca de sentido e começa a diminir, ou vice-versa). No caso da LotoFácil o ponto de inflexão ocorre para 9 acertos.
Observe que a partir do ponto de inflexão (9 acertos) há uma ligeira simetria nos valores. Assim, a chance de acertar 8 ou 10 números é praticamente igual. A chance de 7 é a mesma de 11. Até atingir o ponto de ruptura, 5 acertos, pois na LotoFácil é impossível acertar menos de 5 números. Assim sendo, entre um sorteio e outro, haverá no mínimo 5 números repetidos.
Na LotoFácil, é mais fácil acertar 13 números do que acertar 5. Acertar 9 números é mais fácil do que acertar 8.
Observando o formato do gráfico, você percebeu a razão de acertar tanto 9 números nas suas apostas? :-)

Gráfico de probabilidade para a LotoFácil
OBS interessante:
Como dito anteriormente, nas loterias em que a quantidade de números apostados é proporcionalmente grande em relação à quantidade de números possíveis, pode-se explorar o fato de que acertar poucos números é tão difícil quanto acertar muitos números. É o caso da LotoMania, qua premia quem acerta zero.

Tabela de probabilidades para se jogar mais de 15 números na LotoFácil

A tabela abaixo mostra a aplicação da fórmula de probabilidades para apostas com 15 ou mais números.
As células verdes indicam a quantidade de números jogados e o respectivo custo da aposta, as células amarelas indicam os números que são passíveis de acerto (de 5 até 15, nunca menos de 5) e as células azuis indicam as probabilidades de cada acerto. Por exemplo, jogando-se 18 números:
  • a chance de acertar 15 é 1 em 4.005,83
  • a chance de acertar 14 é 1 em 152,60
  • a chance de acertar 13 é 1 em 18,17
  • a chance de acertar 12 é 1 em 5,03
  • e assim sucessivamente...
Observação importante: Os valores citados na tabela só são válidos para o conjuto das combinações. Ao se reduzir a quantidade de combinações para diminuir o custo da aposta, esses valores não se aplicam.
 
Aposta Custo Acertos
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5
15 2,00 3.268.760,00 21.791,73 691,80 59,87 11,40 4,32 3,11 4,23 11,29 65,31 1.088,50
16 32,00 204.297,50 3.026,63 162,14 21,38 5,94 3,24 3,40 7,06 31,75 408,19  
17 272,00 24.035,00 600,88 49,05 9,43 3,77 3,00 4,80 16,81 168,08    
18 1.632,00 4.005,83 152,60 18,17 5,03 2,93 3,56 9,60 74,70      
19 7.752,00 843,33 46,85 8,03 3,24 2,88 5,90 35,38        
20 31.008,00 210,83 16,87 4,22 2,59 3,89 17,69          
21 108.528,00 60,24 7,03 2,68 2,78 9,27            
22 341.088,00 19,17 3,41 2,19 5,05              
23 980.628,00 6,67 2,00 2,86                
24 2.615.008,00 2,50 1,67                  
25 6.537.520,00 1,00                    
 
Observe que conforme vai aumentando a quantidade de números apostados, o ponto de inflexão vai se deslocando para a esquerda, com uma regra bem peculiar. Assim:
  • Numa combinação completa de 18 números, o mais fácil é acertar 11. 
  • Numa combinação completa de 19 números, o mais fácil é acertar 11. 
  • Numa combinação completa de 20 números, o mais fácil é acertar 12. 
  • Numa combinação completa de 21 números, o mais fácil é acertar 13. 
  • Numa combinação completa de 22 números, o mais fácil é acertar 13. 
  • Numa combinação completa de 23 números, o mais fácil é acertar 14.
  • Numa combinação completa de 24 números, o mais fácil é acertar 14.

Grau de dificuldade em ordem decrescente

Para uma aposta com 15 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 3.268.760
  2. Acertar 14: 1 chance em 21.791,73
  3. Acertar 05: 1 chance em 1.088,50
  4. Acertar 13: 1 chance em 691,80
  5. Acertar 06: 1 chance em 65,31
  6. Acertar 12: 1 chance em 59,87
  7. Acertar 11: 1 chance em 11,40
  8. Acertar 07: 1 chance em 11,29
  9. Acertar 10: 1 chance em 4,32
  10. Acertar 08: 1 chance em 4,23
  11. Acertar 09: 1 chance em 3,11

Para uma aposta com 16 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 204.297,50
  2. Acertar 14: 1 chance em 3.026,63
  3. Acertar 06: 1 chance em 408,19
  4. Acertar 13: 1 chance em 162,14
  5. Acertar 07: 1 chance em 31,75
  6. Acertar 12: 1 chance em 21,38
  7. Acertar 08: 1 chance em 7,06
  8. Acertar 11: 1 chance em 5,94
  9. Acertar 09: 1 chance em 3,40
  10. Acertar 10: 1 chance em 3,24

Para uma aposta com 17 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 24.035
  2. Acertar 14: 1 chance em 600,88
  3. Acertar 07: 1 chance em 168,08
  4. Acertar 13: 1 chance em 49,05
  5. Acertar 08: 1 chance em 16,81
  6. Acertar 12: 1 chance em 9,43
  7. Acertar 09: 1 chance em 4,80
  8. Acertar 11: 1 chance em 3,77
  9. Acertar 10: 1 chance em 3,00

Para uma aposta com 18 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 4.005,83
  2. Acertar 14: 1 chance em 152,60
  3. Acertar 08: 1 chance em 74,70
  4. Acertar 13: 1 chance em 18,17
  5. Acertar 09: 1 chance em 9,60
  6. Acertar 12: 1 chance em 5,03
  7. Acertar 10: 1 chance em 3,56
  8. Acertar 11: 1 chance em 2,93

Para uma aposta com 19 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 843,33
  2. Acertar 14: 1 chance em 46,85
  3. Acertar 09: 1 chance em 35,38
  4. Acertar 13: 1 chance em 8,03
  5. Acertar 10: 1 chance em 5,90
  6. Acertar 12: 1 chance em 3,24
  7. Acertar 11: 1 chance em 2,88

Para uma aposta com 20 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 210,83
  2. Acertar 10: 1 chance em 17,69
  3. Acertar 14: 1 chance em 16,87
  4. Acertar 13: 1 chance em 4,22
  5. Acertar 11: 1 chance em 3,89
  6. Acertar 12: 1 chance em 2,59

 Para uma aposta com 21 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 60,24
  2. Acertar 11: 1 chance em 9,27
  3. Acertar 14: 1 chance em 7,03
  4. Acertar 12: 1 chance em 2,78
  5. Acertar 13: 1 chance em 2,68

Para uma aposta com 22 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 19,17
  2. Acertar 12: 1 chance em 5,05
  3. Acertar 14: 1 chance em 3,41
  4. Acertar 13: 1 chance em 2,19

Para uma aposta com 23 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 6,67
  2. Acertar 13: 1 chance em 2,86
  3. Acertar 14: 1 chance em 2,00

Para uma aposta com 24 números, o grau de dificuldade decrescente é:

  1. Acertar 15: 1 chance em 2,50
  2. Acertar 14: 1 chance em 1,67

Números fixos

Gerar combinações fixando números para reduzir a quantidade é uma técnica bastante difundida. Para se calcular a quantidade de combinações geradas quando se fixa algum número, deve-se utilizar a seguinte fórmula: 

combinaFixando
Onde:
  • C - é a quantidade de combinações
  • m - é a quantidade de números que se quer combinar
  • p - é o tamanho do agrupamento (15 para a LotoFácil)
  • f - é a quantidade de números fixos
  • ! - é o fatorial do número
É importante salientar que ao fixar números e reduzir a quantidade de combinações, automaticamente reduz-se as chances de acerto na mesma proporção. Não se iluda, a chance real para o prêmio máximo será sempre definida pela relação:

chance de ganhar

A tabela abaixo mostra todas as possibilidades. As células verdes indicam a quantidade de números escolhidos ( m ), ou seja, a quantidade que se quer combinar. As células amarelas indicam a quantidade de números fixos ( f ). Já as células azuis indicam a quantidade de combinações geradas ( C ). (Para a LotoFácil p é 15)
Analisando-se essa tabela, pode-se escolher diferentes estratégias com o mesmo número de combinações. Por exemplo, para 3.003 combinações (indicado em vermelho), pode-se combinar 20 fixando-se 5, ou combinar 21 fixando-se 7, ou 23 fixando-se 9, ou ainda combinar 25 fixando-se 10.

Números Quantidade de números fixos
escolhidos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
17 136 120 105 91 78 66 55 45 36 28 21 15 10 6 3 1
18 816 680 560 455 364 286 220 165 120 84 56 35 20 10 4 1
19 3.876 3.060 2.380 1.820 1.365 1.001 715 495 330 210 126 70 35 15 5 1
20 15.504 11.628 8.568 6.188 4.368 3.003 2.002 1.287 792 462 252 126 56 21 6 1
21 54.264 38.760 27.132 18.564 12.376 8.008 5.005 3.003 1.716 924 462 210 84 28 7 1
22 170.544 116.280 77.520 50.388 31.824 19.448 11.440 6.435 3.432 1.716 792 330 120 36 8 1
23 490.314 319.770 203.490 125.970 75.582 43.758 24.310 12.870 6.435 3.003 1.287 495 165 45 9 1
24 1.307.504 817.190 497.420 293.930 167.960 92.378 48.620 24.310 11.440 5.005 2.002 715 220 55 10 1
25 3.268.760 1.961.256 1.144.066 646.646 352.716 184.756 92.378 43.758 19.448 8.008 3.003 1.001 286 66 11 1

Apostas em premiações menores

Uma estratégia mais sofisticada é apostar tendo como objetivo as premiações menores, em vez do prêmio máximo. Essa técnica é comumente chamada de aposta garantida, porém esse nome não é adequado, pois gera confusão e falsa expectativa. Como qualquer outra abordagem, há sempre um grau de incerteza que deve ser levado em consideração.
No caso da LotoFácil há premiações para acertos de 11, 12, 13, 14 e 15 números. Assim, os acertos de 11 a 14 são considerados prêmios menores. Deve-se gerar combinações com mais de 15 números e acertar pelo menos a premiação mínima.
A tabela seguinte mostra todas as possibilidades de premiações. As células amarelas indicam a quantidade de números para se gerar combinações. As células verdes indicam os acertos mínimos e suas respectivas premiações. Já as células azuis indicam a quantidade de apostas que serão premiadas em cada faixa de premiação. As células vazias indicam que é impossível atingir determinada premiação jogando-se aquela quantidade de números.
Por exemplo: combinando-se 18 números, gerando-se as 816 combinações possíveis, se o apostador acertar 13 números entre os 18 combinados, necessariamente serão 10 prêmios de 13 acertos, 130 prêmios de 12 acertos e 390 prêmios de 11 acertos. Assim, 530 apostas serão premiadas entre as 816. Em alguns cenários, todas as combinações serão premiadas e em outros não.
É importante levar em consideração que na grande maioria dos casos, um grande número de acertos em premiações menores não cobre o custo da aposta total. Ou seja, a premiação total será menor que o custo total da aposta, gerando enormes prejuízos.
OBS: A tabela foi construída com a utilização do recurso de geração de sumário do LotoClover.

Acertos Premiação Quantidade de números para gerar combinações
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
11 11 5 15 35 70 126 210        
12 0 0 0 0 0 0        
13 0 0 0 0 0 0        
14 0 0 0 0 0 0        
15 0 0 0 0 0 0        
12 11 12 60 180 420 840 1.512 2.520      
12 4 10 20 35 56 84 120      
13 0 0 0 0 0 0 0      
14 0 0 0 0 0 0 0      
15 0 0 0 0 0 0 0      
13 11 0 78 390 1.170 2.730 5.460 9.828 16.380    
12 13 52 130 260 455 728 1.092 1.560    
13 3 6 10 15 21 28 36 45    
14 0 0 0 0 0 0 0 0    
15 0 0 0 0 0 0 0 0    
14 11 0 0 364 1.820 5.460 12.740 25.480 45.864 76.440  
12 0 91 364 910 1.820 3.185 5.096 7.644 10.920  
13 14 42 84 140 210 294 395 504 630  
14 2 3 4 5 6 7 8 9 10  
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0  
15 11 0 0 0 1.365 6.825 20.475 47.775 95.550 171.990 286.650
12 0 0 455 1.820 4.550 9.100 15.925 25.480 38.220 54.600
13 0 105 315 630 1.050 1.575 2.205 2.940 3.780 4.725
14 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 
Muitas pessoas, inclusive desenvolvedores de software para loterias, interpretam equivocadamente a premiação mínima garantida. Pois diferentemente do que se divulga, quanto maior é a quantidade de números combinados, menor é a premiação mínima garantida. Por exemplo, numa combinação de 25 números, obviamente todos os 15 números sorteados estarão contemplados no conjunto das combinações, porém numa combinação individualmente o acerto mínimo será 5 números.
Só é adequado trabalhar com a expressão garantia de premiação quando o número de combinações premiadas for igual ao número de combinações possíveis. Isso só ocorre em  10 cenários específicos (indicados em vermelho na tabela acima). 
A tabela abaixo mostra todas as possibilidades de acerto mínimo. As células amarelas indicam a quantidade de números a se combinar, as células verdes indicam os acertos de 11 a 15 (acertos dentro dos números combinados e não individualmente em cada combinação) e as células azuis mostram os acertos mínimos para cada caso (acerto individual para cada combinação). As células vazias indicam que não é possível atingir aqueles valores.

Acertos Quantidade de números para gerar combinações
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
11 10 9 8 7 6 5        
12 11 10 9 8 7 6 5      
13 12 11 10 9 8 7 6 5    
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5  
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5
  
Para combinações de 16 números
  1. Acertando-se 12 números dentre os 16, há garantia de acertar no mínimo 11 números, em qualquer combinação.
  2. Acertando-se 13 números dentre os 16, há garantia de acertar no mínimo 12 números, em qualquer combinação.
  3. Acertando-se 14 números dentre os 16, há garantia de acertar no mínimo 13 números, em qualquer combinação.
  4. Acertando-se 15 números dentre os 16, há garantia de acertar no mínimo 14 números, em qualquer combinação.

Para combinações de 17 números
  1. Acertando-se 13 números dentre os 17, há garantia de acertar no mínimo 11 números, em qualquer combinação.
  2. Acertando-se 14 números dentre os 17, há garantia de acertar no mínimo 12 números, em qualquer combinação.
  3. Acertando-se 15 números dentre os 17, há garantia de acertar no mínimo 13 números, em qualquer combinação.

Para combinações de 18 números
  1. Acertando-se 14 números dentre os 18, há garantia de acertar no mínimo 11 números, em qualquer combinação.
  2. Acertando-se 15 números dentre os 18, há garantia de acertar no mínimo 12 números, em qualquer combinação.

Para combinações de 19 números
  1. Acertando-se 15 números dentre os 19, há garantia de acertar no mínimo 11 números, em qualquer combinação.

Assim sendo, para combinações de 16, 17, 18 e 19 números é possível jogar uma quantidade menor de combinações, em vez de todas as combinações possíveis, e ainda ter garantia de acerto em premiações menores. Para os demais números 20, 21, 22, 23, 24 e 25 isso não é possível.

Lembrando sempre que essa garantia é relativa, pois tem como pré-requisito que se deve acertar uma determinada quantidade de números dentre os números combinados. Portanto, é necessário contar com a sorte.

Veja o texto sobre apostas indexadas.

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